在傳統的機構運動學和機構動力學研究中， 構件被假定為剛體， 即構件在外力和慣性力的作用下，產生的彈性變形被忽略不計。這是 由于早期的機構，其運轉速度相對較低，慣性力影響不大，而且構件尺 寸一般也具有較大的裕度和足夠的剛度。但是，在現代機械中，機構的 運動速度越來越快，機構的重量要求盡可能減輕，而機構的運動精度 要求卻隨著機械性能的提高而提高。在較輕巧的且變速運動的機構 中，其構件的柔性增大，慣性力增大，在此類機構的設計中，考慮彈性 變形或彈性位移對機構運動精度的影響有著重要的理論意義和實際 意義。

平面鉸鏈四桿機構是機械中最主要的基本機構之一，又是其它多 桿機構的基礎，其應用十分廣泛。本文針對平面鉸鏈四桿機構進行彈 性動力學的分析與研究。

建立平面鉸鏈四桿機構的有限元模型

在分析機構的真實運動之前，首先假設：
（1）與采用剛性機構的運 動分析方法得到的機構名義運動的位移相比，由構件變形引起的彈性位移仍然很??；
（2）這種彈性位移不會影響機構的名義運動。依據這兩個假設，我們可以把機構真實運動的位移看成是名義運動的位移和彈性位移的迭加。名義運動可用剛體機構的運動分析方法求出，彈性位移需用結構動力學方法求解。

機構處于運動循環中，因此其結構形狀、相對位置、動負荷、動力特性等時刻處在變化中，采用“瞬時結構假定”，即機構在某一位置時，可將機構的形狀和作用于其上的動載荷瞬時“凍結”起來，從而可將其 瞬時地看成是一個結構，并借用結構分析的有限元方法來求解。

對于圖1 所示的四桿機構，我們用一維單元離散，單元節點號及 坐標如表1 所示。

從拉格朗日方程出發，得出系統運動方程的一般形式：
MU＋CU＋KU＝P－MU^r （1）
式中：M、C、K 分別為系統的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；U， U，U分別為廣義坐標及其對時間的一階、二階導數列陣，它們均為未 知量；P 為廣義力列陣； U^r 為剛體加速度列陣， 可由剛體運動分析求出。

機構在不同的位置有著不同的瞬時結構。因此矩陣M、C、K 都是機構位置的函數。因此方程（1）是一個二階變系數常微分方程組。它可 利用實振型迭加法和機構連續運轉的封閉解法來求解。 由于方程（1）的求解需要多次計算方程的特征值和特征向量，所 以比較費時，因此我們采用一種工程簡化分析方法來代替它，即略去 方程（1）左邊前兩項，得：
KU=P-MU^r（2）
方程（2）是一變系數線性方程組，它的求解顯然要快的多，但精度 相對就要低一些。實質上，方程（1）和方程（2）代表了兩種不同概念的 處理方法，以方程（1）為基礎的分析方法稱為彈性動力分析，簡稱為 KED 分析，它的思想是將機構看成是一個振動系統，求其在外載荷和 慣性力激勵下的響應。以方程（2）為基礎的分析方法稱為運動彈性靜 力分析，簡稱為準靜態分析，它的思想是將機構看成一個彈性系統，求 其在外力和慣性力作用下的靜變形，文獻已證明在一般工程條件 下，用準靜態分析代替KED分析不會帶來較大誤差。

平面鉸鏈四桿機構彈性動力分析算例

現以圖1 所示的平面鉸鏈四桿機構為例，首先用準靜態分析法對 其進行彈性動力分析，然后再利用（2）式計算。設已知構件1、2、3、4 的 尺寸l1、l2、l3、l4 及主動件2 的方位角α2 和等角速度ω2， 現對該機構的 位置、速度及加速度進行分析。

位置分析

為了對該機構進行運動分析，首先建立直角坐標系，如圖1 所示， 并將各構件以矢量形式表示出來，則可寫出該機構各桿所構成的矢量 封閉方程為：

式（4）和（5）中的α3，α4均有兩個解，可根據機構初始安裝情況和 機構運動連續性來確定其確切值。

速度分析

將式（3）對時間t取一階導數，可求得構件3的角速度ω3 為：

平面鉸鏈四桿機構的力學分析

在圖1 所示的機構中，設主動件2 的輸入參數為α2；從動件4 的 輸出參數為α4；各桿長度為：li(i=1,2,3,4)，MO 和MC 分別為輸入力矩和 輸出力矩；mi 和Ji 分別為各桿件的質量和繞通過桿件質心軸線的轉動 慣量；ω2 為常量。 由虛位移原理， 可求得在輸出力矩MC 不變的情況下的輸入力矩 MO，即：

當機構的具體參數給定后， 可以通過上述公式求得廣義力列陣 P，將其代入式KU=P-MU^r中，這時，式中K、P、M 及MU^r 均為已知，利用現有的結構有限元分析程序進行計算，即可得到從動件在任意轉角 位置時，其上B點的彈性位移（即B點的廣義坐標U），從而進一步可 求出由于機構的彈性變形所引起的從動件轉角誤差。

本文摘自《科技信息》，原創作者：趙竹青，編輯：李皓成