引言

柔性機構是一類利用材料的彈性變形傳遞運動、力或能量的新型機構，具有無摩擦、無間隙、易維護、分辨率高和可一體化 加工等諸多優點，被廣泛應用于精密定位、MEMS加工、航空航天 等領域。與傳統剛性機構相比，柔性機構動作過程中的彈性變形產生功能方向正剛度，需要較大的驅動力，對驅動器要求苛刻，且 降低了能量傳遞效率。凡此種種不足，一定程度上成為了其應用范圍拓展的桎梏所在。為了克服柔性機構功能方向正剛度帶來的不利影響，多位 學者將零剛度理念引入到柔性機構中，巧妙利用負剛度抵消正剛度的原理，得到剛度為零的機構，此種系統可在運動范圍內任何一點獲得靜平衡狀態，因此又被稱作柔性靜平衡機構。其突出優 點是：力傳遞性能好，驅動力小，能量傳遞效率高等。目前柔性靜平衡機構的研究對象多集中于柔性微夾鉗。而作為柔性機構基 本運動模塊的柔性鉸鏈,因其優異特性而被深入研究，其中廣義交叉簧片型柔性鉸鏈相對行程較大，具有更大的應用價值?；诖说牧銊偠热嵝糟q鏈首選為構建復雜柔性靜平衡機構的基礎，其研究具有重要意義。

轉動負剛度模型

以期實現零剛度特性，柔性鉸鏈的扭轉正剛度需用轉動負剛度抵消。轉動負剛度模型示意圖，如圖1所示。虛線為動平臺初 始位置，彈簧為零長彈簧，由圖2所示葉片彈簧來實現。葉片彈簧由兩根重疊的簧片組成，一端固連，另一端自由，當開口端變形相對簧片長度較小時彈簧力學特性具有很好的線性度。為了便于推導，采用理想線性零長彈簧進行分析。

根據三角形正弦定理，兩根彈簧對O 點的轉矩分別為
M1 =karsinφ1 =karsin（θ+β） （1）
M2 =-karsinφ2 =karsin（θ-β） （2）
總轉矩可表示為：
M=M1 +M2 =2karcosβsinθ （3）
式中：k—零長彈簧剛度系數；r ， a—零長彈簧 上 下安裝點距鉸鏈O的距離（安裝半徑）； β—彈簧安裝角度；θ—動平臺轉過的角度。由公式（3），
當β<π/2時，彈簧對O點產生的力矩與轉角方向相同，即對鉸鏈O形成了轉動的負剛度。

零剛度柔性鉸鏈的運動模型

雙平衡彈簧零剛度柔性鉸鏈模型

為了建立準確的零剛度柔性鉸鏈模型，首先需要對廣義交叉簧片柔性鉸鏈的力學特性進行分析，其受力及變形，如圖3所示。根據文獻，若不考慮切向力影響，鉸鏈的無量綱扭轉剛度可表示為：
Km=Am p+Bm（4）
其中，Am = 2(9λ² -9λ+1)/15cosα +λcosα，
Bm =8(3λ²  -3λ+1) " 式中：Am—徑向力對扭轉剛度的影響權重；Bm—純扭轉載荷作用下的剛度。若Am為0，扭轉剛度將不受徑向力影響。

基于文獻中正負剛度并聯思想，將圖1中O點轉動副、兩根平衡彈簧分別用柔性鉸鏈和葉片彈簧替換可得零剛度柔性鉸鏈的概念模型，如圖4所示。

由于結構對稱性，僅分析動平臺逆時針轉動情況。簡單起見，兩根平衡彈簧對動平臺的力首先向O點簡化，再由O點向E點簡化。彈簧1對E點的轉矩力為：
ME =2kasinθ(acosβ-λLcosαβ/2) （5）
FOx =2kacosβ/2 sinθ （6）
FOy =-4kacosβ/2 cos²θ/2（7）
公式（5）~（7）所得結果均為有量綱參數，將轉矩和力無量綱化后可得鉸鏈剛度為零的條件為：
MEL/EI -λcosα FOx L² EI =Km θ （8）所需平衡彈簧的剛度：
k= KmEI/2aL (acosβ-2λcosαcos β /2 ^)-1（9）

為了驗證上述理論模型的正確性，通過有限元軟件Ansys中的大變形分析模塊對零剛度柔性鉸鏈力矩-轉角特性進行仿真 分析，并與模型計算結果進行比較。所有鉸鏈的簧片具有相同的參數和材料屬性，如表1所示。平衡彈簧采用彈簧單元Combin14 來模擬，自由長度為0。
 

表1 鉸鏈的簧片參數和材料屬性

L/mm	b/mm	h/mm	E/MPa
60	6	1	73000

 

以期全面驗證模型，選擇三種不同的鉸鏈進行分析，其幾何 參數，如表2所示。采用優化方法在Ansys 中仿真計算，漸進改變 平衡彈簧的剛度直至柔性鉸鏈剛度降為0，可得平衡彈簧的有限元分析剛度KFEA，如表3 所示。


 

表2 雙平衡彈簧零剛度鉸鏈幾何參數

序號	λ	α
1	1/5	0.9985
2	1/3	arccos√2/5
3	1/2	0.9553

表3 三種鉸鏈理論計算與FEA 結果對比

序號	K（N·mm/rad）	ktheo （ N/mm）	kFEA （ N/mm）	δ
1	2530.67	0.3412	0.324	5.3%
2	1622.22	0.2836	0.275	3.1%
3	1216.67	0.2745	0.26	5.6%

kFEA情況下的力學特性曲線，如圖5所示。結果表明，平衡彈簧可以大大降低柔性鉸鏈驅動力矩，在15°范圍內平均降低99.6%、 99.3%、99.5%。將平衡彈簧剛度kFEA 與ktheo 進行對比，可以定義理論計算結果的誤差：
δ= (ktheo -kFEA)/kFEA×100% （10)

單平衡彈簧零剛度柔性鉸鏈模型

根據圖1可知，當β為0時，兩個平衡彈簧始終重合，等價于僅有單根彈簧，彈簧對轉動中心具有轉動的負剛度。據此可得 單平衡彈簧零剛度柔性鉸鏈模型，如圖6所示。圖中：E—動平臺 與簧片交點的中點；O—動平臺上與簧片初始交叉點的重合點 （即鉸鏈轉動中心）。AO 平行于y 軸，長為a；OE長為s。平衡彈簧 對E 點的轉矩及力為：

對比分析公式（14），模型可同時適用于Am 為0 與不為0 的情況。選取兩種鉸鏈參數進行有限元分析，如表4 所示。其中平衡 彈簧采用Combin14 單元模擬，a 長度為50mm。仿真可以得到平衡彈簧剛度，如表5 所示。結果表明，不論徑向力對鉸鏈剛度有無 影響， kFEA 與理論剛度ktheo 之間的誤差都非常小，充分證明了理論模型的正確性。

為了驗證葉片彈簧作為平衡彈簧在零剛度柔性鉸鏈中的可行性，進而采用葉片彈簧代替Combin14 單元建立了有限元模 型，如圖7（b)所示。葉片彈簧簧片長度為100mm，厚度2mm，寬度分別為17.8mm、21.6mm。仿真結果，如圖7 所示。

結論

利用轉動負剛度抵消交叉簧片柔性鉸鏈的轉動正剛度，獲得零剛度柔性鉸鏈系統，可以大幅降低鉸鏈的驅動力矩，改善力傳遞性能，提高能量利用效率。針對零剛度柔性鉸鏈雙平衡彈簧和單平衡彈簧模型進行了分析，分別得出兩種不同平衡方式的靜平衡條件，并利用有限元軟件對理論結果進行了仿真驗證。結果表明，雙平衡彈簧方式僅適用于徑向力不影響鉸鏈剛度的情況，而單平衡彈簧模型則無此限制，適用范圍更廣，但其軸向空間緊湊性受到一定影響，結構設計需根據實際應用綜合考慮。