摘要：大行程柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機構的性能很大程度上取決于柔性鉸鏈的性能。同樣構型的柔性鉸鏈，行程越大其離軸剛度越低，從而導致大行程全柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機構整體的靜剛度和精度下降。討論了Ｈｅｘａｐｏｄ機構運動學逆解的求解，包括每個支鏈的伸縮的長度以及每個鉸鏈的轉動角度的求解。在此基礎上討論了大行程全柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機構參數優化設計，使得滿足動平臺運動空間要求的前提下各個鉸鏈的行程要求最小，并針對設計中的大行程柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機構進行了參數優化設計。

引言

光學系統在光學顯微鏡、半導體生產和空間探測等超精密工程領域中得到了廣泛的應用［１］。為了保證光路的準確性，光學元器件不但需要有很高的面形精度，而且需要精密的定位系統。以大口徑空間望遠鏡的子鏡拼接為例，在戈達德太空飛行中心研制的太空球面光學望遠鏡主鏡［２］（ＳＰＯＴ）直徑３．５ｍ，由６個對角線長０．８６ｍ的六角形子鏡環狀排列組成，中心無鏡面。每個子鏡都有傾斜、翻轉和移動的自由度，ＳＰＯＴ對每個子鏡的定位精度提出了很高的要求：鏡面法向移動范圍目標值±５ｍｍ、最小值±１ｍｍ，鏡面法向移動分辨率目標值＜１０ｎｍ、最低值２０ｎｍ。鏡面翻轉范圍±２°，鏡面翻轉分辨率≤０．０５ａｒｃｓｅｃ。

傳統的光學元器件精密定位并聯機器人使用的是球鉸、萬向鉸鏈等傳統的運動副作為活動關節，會引入摩擦、回程間隙和爬行等問題極大地影響并聯機器人的精度。為了克服使用傳統運動副引起的上述問題、減小并聯機構的精度損失，柔性鉸鏈被用來作為新型并聯機器人［３－５］的運動副。柔性鉸鏈具有結構簡單、無摩擦和精度高等優點，能夠使系統得到很高的精度和分辨率。然而，由于柔性鉸鏈的變形量有限，傳統的全柔性鉸鏈的并聯機器人的工作空間都很小，多在立方微米級。在一些需要較大行程的應用中往往需要兩級運動機構的疊加，其中一級提供較大范圍的運動，另一級為微位移的柔性并聯機構。這樣的結構增加了系統的復雜性，提高了系統成本。為了使得柔性鉸鏈并聯機器人能夠在立方厘米級的工作空間得到應用，近年來又開發了大行程的柔性并聯機器人，如Ｋａｎｇ?。牡热耍郏保菀怨鈱W精密定位為背景研制了一種新型的大行程柔性鉸鏈并聯機器人，該六自由度的機器人工作空間±２ｍｍ＊±２ｍｍ＊±２ｍｍ＊±２°＊±２°＊±２°，移動分辨率達到１５ｎｍ，轉動分辨率為０．１４ａｒｃｓｅｃ。Ｔａｎｇ等人［６］設計并測試了具有ＸＹＺ３個自由度的柔性并聯機器人，３個方向的運動相互解耦，行程達到２．３ｍｍ。經過測試，其橫軸誤差小于１．９％，移動引起轉角小于１．５ｍｒａｄ。

以光學元器件的精密定位為應用背景，研究大行程柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機構參數優化設計方法。柔性鉸鏈的性能很大程度上決定了大行程柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機構的性能。同樣構型的柔性鉸鏈，行程越大其離軸剛度越低，從而導致大行程全柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機構整體的靜剛度和精度下降。以滿足動平臺工作空間要求前提下柔性鉸鏈的變形量最小為優化目標，優化設計大行程全柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機構的結構參數。

１　運動學逆解

１．１　參數設定

為了簡化研究，建立柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機構的偽剛體模型。將支桿與動平臺之間的柔性鉸鏈假設為帶轉動剛度的球鉸，支桿與動平臺之間的柔性鉸鏈假設為帶轉動剛度的萬向鉸，移動關節包括直線致動器與柔性直線導向機構。簡化Ｈｅｘａｐｏｄ機構如圖１所示。上方的平臺為動平臺，下方的平臺為定平臺。為了方便分析，按圖１所示建立定平臺上的坐標系Ａ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）、動平臺上的坐標系Ｂ（Ｕ，Ｖ，Ｗ）及分別對各支鏈ｉ建立用ＤＨ方法建立坐標系（ｒｉ－ｊ，ｓｉ－ｊ，ｔｉ－ｊ），其中，ｊ＝０，１，２…６。坐標系（ｒｉ－０，ｓｉ－０，ｔｉ－０）與坐標系（ｒｉ－６，ｓｉ－６，ｔｉ－６）分別與坐標系Ａ，Ｂ相對固定，ｔｉ－０方向為初始狀態下ｒｉ－０與Ｚ軸叉乘乘積方向：ｔｉ－０＝ｒｉ－０×ｚ‖ｒｉ－０×ｚ‖（１）支鏈ｉ的ＤＨ參數如表１所示?！?br />

　ｌ為連桿兩端關節運動副軸線之間的公垂線長度；α為連桿兩端的關節軸線在該連桿長度的法平面內投影的夾角；ｄ為相鄰連桿的距離；θ為相鄰連桿的夾角。初始狀態時各關節參數為［０°，－９０°，ｄｉ０，－９０°，－９０°，０°］，ｄｉ０為初始狀態的支鏈長度。代入ＤＨ矩陣的計算公式，分別計算得到各連桿的齊次變換矩陣ｋＡｉｌ（支鏈ｉ中ｌ坐標系在ｋ坐標系中的表示）。

１．２　求解柔性鉸鏈轉角

求解關節轉角的過程類似于六自由度的串聯型機械臂求逆解的過程。將ｋＡｉｌ中的旋轉陣用ｋＲｉｌ表示，ＡＡＢ表示動平臺相對于定平臺的齊次變換矩陣。ｉ支鏈桿長方向與ｔｉ－２方向相同：

考慮到θｉ－２的初始位置姿態值為－９０°且柔性機器人關節轉角均較小。因此，有－π≤θｉ－２≤０?？梢郧蟮茫?br />

與動平臺相對固定的向量ｔｉ－６在坐標系Ｂ中表示為Ｂｔｉ－６，下式中Ｂｉ０表示初始位置姿態時點Ｂｉ在Ａ坐標系的坐標。

可以用上面的結果表示支鏈ｉ整體的旋轉矩陣ＡＲｉ６＝［ｒｉ－６，ｓｉ－６，ｔｉ－６］。


由上式可以得到
Ｒｉ０＝［ｒｉ－０，ｓｉ－０，ｔｉ－０］，
即可求得６?。遥椋?。
同時也由各個關節的旋轉矩陣計算支鏈ｉ整體的旋轉矩陣為：
０Ｒｉ６＝０Ｒｉ１１?。遥椋玻病。遥椋常场。遥椋矗础。遥椋担怠。遥椋叮ǎ梗埃遥椋部捎?theta;ｉ－１，θｉ－２求得。將已知的旋轉陣移至上述等式的左側得：２　ＲｉＴ３０ＲｉＴ２０Ｒｉ６＝３?。遥椋矗础。遥椋担怠。遥椋叮ǎ保埃┥鲜阶髠人械木仃嚲阎?，將左邊矩陣相乘的結果表示為２?。遥椋裕常埃遥椋裕玻埃遥椋叮剑郏颍?，ｓｉ，ｔｉ］。右側矩陣相乘得到３?。遥椋矗础。遥椋担怠。遥椋丁２捎门c之前求解θｉ－１，θｉ－２同樣的方法求解θｉ－４，θｉ－５，結果如下：

求解時考慮到θｉ－５的初始位置姿態值為－９０°，柔性機器人關節轉角均較小，取－π≤θｉ－５≤０。至此，支鏈ｉ的各關節運動量均已求得，可以得到相對于初始位置各關節轉動的角度或移動量為：

２?。龋澹幔穑铮鋮祪灮?/p>

２．１　設計參數與要求為了方便探討，選取初始位置下對稱的Ｈｅｘａｐｏｄ類型，Ｈｅｘａｐｏｄ機構的俯視圖及參數定義如圖２所示，

圖中的坐標系為定平臺的坐標系Ａ（ｘ，ｙ，ｚ）。定義定平臺上所有Ａｉ所在的圓的半徑為Ｒ，動平臺上所有Ｂｉ所在圓的半徑為ｒ，Ａ１與中心點Ｏ連線與Ｙ軸的夾角為α，Ｂ５與中心點Ｏ連線與Ｙ軸的夾角為β，初始狀態下動平臺與定平臺的距離為ｈ。Ａｉ，Ｂｉ在坐標系Ａ中的坐標分別是：Ａｉ＝（Ｒｃｏｓαｉ，Ｒｓｉｎαｉ，０）；Ｂｉ０＝（ｒｃｏｓβｉ，ｒｓｉｎβｉ，ｈ）Ｂｉ０為初始位置姿態時Ｂｉ點在Ａ坐標系的坐標。具體的αｉ，βｉ，分別用α，β表示為：設計時考慮到相鄰的Ａｉ及相鄰的Ｂｉ不會重復或者交叉，限定１０°≤α≤５０°，１０°≤β≤５０°?？紤]到實際的應用背景和結構的緊湊性，限定與動平臺相連的柔性球鉸中心所在圓的半徑１００ｍｍ≤ｒ≤２００ｍｍ，與定平臺相連的柔性萬向鉸中心所在圓的半徑１５０ｍｍ≤Ｒ≤２５０ｍｍ，初始狀態下定平臺與動平臺之間的高度１５０ｍｍ≤ｈ≤２５０ｍｍ。后面的優化設計將在上述的范圍內對參數Ｒ，ｒ，ｈ，α，β優化設計，以獲取在滿足工作空間要求情況下使得所有柔性鉸鏈的變形范圍中的最大值最小的一組參數。Ｈｅｘａｐｏｄ動平臺沿Ｘ，Ｙ，Ｚ軸移動的范圍均為±５ｍｍ，繞Ｘ，Ｙ軸旋轉的角度范圍為±２°，繞Ｚ軸旋轉范圍不作要求。

２．２　平臺參數優化計算

設計時取初始條件下各柔性鉸鏈的變形值為零，根據要求的工作空間得到動平臺的位置與姿態六維向量ｘｐ＝［ｐｘ，ｐｙ，ｐｚ］的取值范圍。對于給定的任意平臺參數，使動平臺在某一個軸向移動或轉動到極限位置。按照第１節推導的表達式計算柔性鉸鏈的轉角，從中計算得每個支鏈的５個角度逆解，即３０個角度逆解值中的最大絕對值與最大移動絕對值加權求和。依次求取每個軸向２個極限位置即１０個極限位置（繞Ｚ軸的旋轉由于光學鏡面的定位中沒有要求故不予考慮，每個軸移動或轉動方向分別取正負最大值）的加權和，選擇其中最大的作為此平臺參數下需要的柔性鉸鏈變形量的表征，選擇使得該加權和最小的平臺參數，即為最優化的平臺參數。

編寫Ｍａｔｌａｂ程序尋求最優化的Ｈｅｘａｐｏｄ機構參數基本的編程思路如下。

ａ．編寫求運動學逆解的函數ｉｎｖｅｒｓｅＫｉｎｅｍａｔｉｃｓ。函數的輸入為平臺參數（ｒ，Ｒ，ｈ，α，β）及動平臺的位置與姿態六維向量ｘｐ＝［ｐｘ，ｐｙ，ｐｚ］，輸出為所有６個支鏈每個支鏈５個轉角逆解一個移動逆解，為６×６矩陣。

ｂ．編寫求柔性鉸鏈最大轉角絕對與最大移動絕對值的函數ｆｉｎｄＭａｘＤｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ。函數的輸入為平臺參數（ｒ，Ｒ，ｈ，α，β）及動平臺的位置與姿態六維向量ｘｐ＝［ｐｘ，ｐｙ，ｐｚ］，函數的輸出為對應于該平臺參數及位姿條件的３０個柔性鉸鏈變形值中的最大絕對值及６個直線導向的柔性鉸鏈的變形值中的最大絕對值組成的向量。

ｃ．編寫滿足工作空間要求的柔性鉸鏈最大加權和計算函數ｍａｘＤｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ。函數的輸入為平臺參數（ｒ，Ｒ，ｈ，α，β），函數的輸出為最大轉角絕對值與最大移動絕對值加權和。利用函數ｆｉｎｄＭａｘＤｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ求取各軸向極限位置時的柔性鉸鏈最大轉動值，從得到的１０個值中選取最大值作為輸出。

ｄ．將問題變為最優化問題。目標函數ｍｉｎｍａｘＤｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ（ｒ，Ｒ，ｈ，α，β）限制條件為：１０°≤α≤５０°
１０°≤β≤５０°
１００ｍｍ≤ｒ≤２００ｍｍ
１５０ｍｍ≤Ｒ≤２５０ｍｍ
１５０ｍｍ≤ｈ≤２５０ｍｍ

用Ｍａｔｌａｂ工具箱中的最優化函數ｆｍｉｎｃｏｎ尋找限定條件下的最優化解，將算法設置為“ｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔ”。設置不同的權重，得到局部最優解的情況如表２所示。

從表２中可以看出，按照優化時對最大轉角絕對值和最大移動絕對值分配權重的不同可以將Ｓｔｅｗａｒｔ平臺的設計參數分為３類：第１類使得轉動導向的柔性鉸鏈需求的運動范圍最小；第２類使得直線導向的柔性鉸鏈需求的運動范圍最??；第３類綜合最優，使得整個平臺柔性教練的轉動角度和伸縮量都取得比較小的數值，但均不是最小值。設計時可以按照綜合最優選取平臺參數，也可以按照某種鉸鏈的運動范圍要求最小進行設計。

３　結束語

以柔性鉸鏈的要求變形值最小為優化目標，在滿足大行程柔性Ｈｅｘａｐｏｄ機構工作空間要求的前提下進行Ｈｅｘａｐｏｄ機構參數的優化設計。建立了大行程柔性Ｈｅｘａｐｏｄ的偽剛體模型的各支鏈坐標系，求取了各支鏈各關節運動學逆解的解析表達式，并以此為基礎進行了Ｈｅｘａｐｏｄ機構的優化設計。從最后優化設計實例的計算中可以看出，實際設計時，可以以某種柔性鉸鏈的變形量要求最小或兩種變形的加權和最小為設計目標優化設計Ｈｅｘａｐｏｄ機構的參數，也可以根據設計完成的兩種柔性鉸鏈能夠滿足整體的行程范圍要求，調整各自的權值使其滿足要求從而進行Ｓｔｅｗａｒｔ平臺的參數配置。

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