1、引言

隨著機床技術的發展，并聯機床在航空航天和汽車工業等領域得到了不斷的應用。但是，與傳統的串聯機床相比，并聯機床仍存在很多問題。由于受鉸鏈約束、桿長約束、支鏈干涉、奇異位形等因素影響，其有效工作空間受到很大限制，動平臺的活動空間不 大，最大傾角通常在30°左右。這是影響其應用的一個重要原因。因此，在機床尺寸參數確定的情況下，鉸鏈約束就成了限制其工作空間的關鍵因素。 球鉸鏈分為普通球鉸鏈和復合球鉸鏈兩種。復合球鉸鏈具有運動范圍大、間隙小、抗拉強度大、易保 證加工精度等優點。但復合球鉸鏈的體積大，結構復雜、慣性大，當并聯機床的體積重量較小時，普通球鉸鏈仍是球鉸鏈的不二之選。 目前，關于鉸鏈座法線方向的選擇，通常采用的方法是：“當桿長為0.5(Lmax+Lmin)，且上下平臺上的坐標互相平行時，第i根桿的向量”作為鉸鏈座法線。這種方法只是一種粗略的設計方法，在一定程度上可以減小最大轉角，但得到的鉸鏈座法線并不 是最優的鉸鏈座法線，還有進一步優化的空間。關于球鉸座法線方向的最優化設計還沒有人進行過研究。趙云峰等[4]對3-UPS/S 并聯機構進行了基于給定 工作空間的尺寸參數優化，但沒有考慮優化鉸鏈最大轉角的問題。馬運忠和張立杰等也都對球鉸鏈進 行了相關的研究，但其研究都是針對復合球鉸鏈而展開的?；趦灮蜚q鏈最大轉角進行的機構參數的優化還很少有人涉及。 下面研究的球鉸鏈是基于北京航空航天大學為某研究所研制的3-UPS/S 并聯轉臺展開的。

2、 無量綱化模型及鉸鏈法線優化

2.1 球鉸鏈和并聯轉臺介紹

普通球鉸鏈（以下簡稱球鉸鏈）由球頭和球窩構成，球頭在球窩內轉動，有三個方向的轉動自由度（圖 1）。球鉸鏈的轉角用球鉸鏈座的法線n 和與球頭連接的支鏈向量l的夾角α 來表示。球鉸鏈最大轉角αmax 的大小受球鉸鏈座法線方向n 的影響，同時也受并聯 機構的結構參數和位姿參數的影響。

3-UPS/S 并聯轉臺（圖2）由靜平臺、動平臺、 支鏈和立柱構成。其中3-UPS/S 的含義：3 是支鏈數 量；U 代表虎克鉸；P代表移動副；S 代表球副。動平臺通過4 個球鉸鏈P1,P2,P3,OP 與支鏈和立柱連接； 靜平臺通過3 個虎克鉸B1,B2,B3與支鏈相連，與中央立柱L固結；3 根支鏈內為移動副。轉臺動平臺有進動和章動兩個轉動自由度，運動空間用ZXZ 歐拉角描述為：進動角ψ=±360°，章動角θ=54.07°，自旋角φ=γP-ψ。其中：γP為定值，定義為初始角度。并聯 轉臺的大運動空間要求球鉸鏈必須有大的偏轉角，但過大的偏轉角必然導致鉸鏈的結構強度降低。所以， 優化并聯轉臺的結構參數、位姿參數和鉸鏈座的法線方向就顯得非常重要。

2.2 轉臺球鉸鏈的數學模型

在動平臺P1P2P3 上建立動坐標系OP-XPYPZP（圖 2），在靜平臺B1B2B3上建立靜坐標系O-XYZ。靜平臺 半徑為R，動平臺半徑為r，中央立柱的高度為h。轉 臺球鉸鏈數學模型可以通過支鏈BiPi在動坐標系中的 位置矢量BiPi P 來描述。BiPi P 與球鉸法線n0 的夾角即 為球鉸鏈的轉角α。 動坐標系OP-XPYPZP 到靜坐標系O-XYZ 的旋轉矩陣為：

注：c，s 分別為cos 和sin 的簡寫。 對支鏈Li(i=1,2,3)，OPPi 相對于動系OP-XPYPZP 的Xp 軸的夾角為γ Pi = (i −1)120°，OBi 相對于靜坐標 系O-XYZ的X軸的夾角是γ Bi = (i − 1)120°。則：

2.3 球鉸鏈模型的無量綱化

在上節中，轉臺的結構參數有r,R,h 三個。為了便于分析，通過無量綱化，將轉臺的結構參數減少至 2 個，會方便轉臺參數的優化設計。動平臺半徑r和立柱高度h可用R分別表示為r=krR 和h=khR，其中：kr=r/R，kh=h/R。 將（1）、（2）、（3）分別代入（4），有

2.4 球鉸鏈法線的優化設計

考慮到轉臺運動的特點：動平臺只有轉動沒有平 動。選擇動靜平臺平行時的支鏈向量作為初定的鉸鏈 座的法線向量nc。最優法線n0 由nc 經旋轉得到。由 n0 到nc 的旋轉可用變量ψn,θn 來表示。具體見圖3。 以nc 的方向為Z 軸，建立坐標系OS-XYZ。X 先繞Z 軸旋轉ψn 至X ′ ，nc 再繞X ′ 軸旋轉θn 即可到達n0。 在OS-XYZ 中，nc S=[0,0,1]T，n0 相對于OS-XYZ 可表示為： 0S = 1 ⋅ S = 1 ⋅[0 0 1]T n T nc T 。 則n0 相對于動系可表示為： 0 0 P S r n = T ⋅ n 。 注： ( n , n ) ( , ,0) ψ θ = ψ θ T1 T ；坐標系OS-XYZ 相對 于動系是固定的，轉換矩陣為Tr。 這樣就把求最優鉸鏈座法線的問題轉變為求最優ψn,θn 的問題。采用的方法是二維搜索法。

以ψn,θn 作為搜索變量，在ψn∈[0°,360°] ， θn∈[0°,15°]的范圍內搜索最優的鉸鏈座法線。具體方法是：分別取一定的ψn,θn 值，求其在θ=54.07°， ψ∈[0°,360°]，γ=γ.空間內的最大夾角，并將其記錄下來。使最大轉角αmax 最小的ψn,θn值即為最優的鉸鏈 座法線方向。搜索流程見圖4。

最后輸出αmax=min(αmax0)，與 αmax0=αmax 對應的ψn,θn 構成的法線為最優的 0 [ , , ]T ⋅ sψ nsθn −cψ nsθn cθn n = Tr 。 流程圖中的增量, n , n Δψ Δψ Δθ 的取值會影響最優法線和相應最大轉角的精度。理論上，增量取值越小越好，但取得太小，會增加不必要的運算量，浪費 時間。這里取1 , n 1 , n 0.05 Δψ = ° Δψ = ° Δθ = °。

3、最大轉角與位姿參數的關系

轉臺動平臺只有轉動運動，工作空間包括進動角ψ，章動角θ，初始角γP。進動角ψ 的變化范圍是0～ 360°全空間。這里只分析章動角θ，初始角γP與球鉸鏈最大轉角αmax 的關系。在前面球鉸鏈法線的優化設計中，與最優球鉸鏈法線n0 對應的最大轉角αmax是最優的最大轉角。下面進行的分析都是基于n0 和αmax 展開的。

3.1 與章動角θ的關系

球鉸鏈的最大轉角αmax 在章動角θ 取最大值時取得。所以計算給定運動空間下球鉸的最大轉角αmax，只要令章動角θ 取最大值，進動角ψ 從0～360°變化， 即可搜索出來。

參數[kr,kh,γP]取不同值[0.5,3,20°]，[0.75,2,30°]， [0.75,3,40°]，[0.75,4,50°]，[1,3,60°]時，計算不同的最大章動角θmax 對應的最優αmax，并做出兩者之間的關 系曲線（圖5）。

由圖5看出，球鉸鏈的最大夾角與章動角成正比關系。章動角θmax=54.07°時，球鉸鏈的最大夾角在 55°～60°之間。

3.2 與初始角Pγ的關系

分別作出[kr,kh]取不同值[0.5,3] ， [0.75,2] ， [0.75,3]，[0.75,4]，[1,3]時，球鉸最大轉角αmax 與初始角γP的關系曲線，見圖6。

在圖6中可以看到：鉸鏈的最大轉角αmax隨著初始角度γP的增大而減小。理論上，γP取得越大，越有利于減小鉸鏈的αmax。

4、最大轉角與結構參數的關系

在前面的分析中，球鉸最大轉角αmax 越小越好。轉臺的結構參數r,R 和h 都影響轉臺的最大夾角。所 以對轉臺的結構參數基于減小最大轉角進行優化設計，就顯得尤為重要。

在3.2 節的分析中，得知：γP取值越大，越有利于減小鉸鏈的αmax。但考慮到初始角γP 越大，支鏈受 力性能越不好，也容易造成桿間產生干涉。最終選定初始角度γP=45°。 在2.3 節中，通過無量綱化將轉臺的三個結構參 數r，R，h 減小到兩個kr,kh。作最大轉角與kr,kh 的關系圖（圖7）。

從圖7中可以看出，最大轉角αmax 隨著kr 的減小 而減小，隨著kh 的增大而減小。

5、參數優化與運動空間的驗證

5.1 轉臺參數的優化設計

轉臺的參數包括結構參數r,R,h，初始角度γP，和 球鉸鏈法線。初始角度在前面已經選定為γP=45°。

5.1.1 轉臺結構參數的設計

由圖7，選定kr=0.55，kh=3.75?？紤]球鉸鏈的尺 寸， 動平臺半徑取r=100mm ， 則靜平臺半徑 R=r/kr=200mm，動平臺高度h=khR=750mm。

5.1.2 球鉸鏈的法線

5.1.1 的計算中，定轉臺的結構參數和初始角度： r=100mm，R=200mm，h=750mm，γP=45°。球鉸鏈最 優法線的方向用2.3 節中方法進行搜索。 搜索得球鉸1的最優鉸鏈法線向量為 [0.0976,-0.1880,-0.9773]（相對于動系的坐標值）。轉 化為球坐標：ψS=297.4°，θS=167.8°（圖8）。

鉸鏈2、 3和鉸鏈1 關于動系的ZP 軸呈軸對稱。

5.1.3 球鉸鏈結構參數的設計球鉸鏈的具體結構形式見圖1。圖中：d 是球頭 桿的直徑，R 是球頭的半徑，h 是球窩蓋的厚度。θ 是球鉸鏈的最大偏轉角。圖1中，θ=90°-θ1-θ2，其中： 1 1 1 sin , 2 sin 2 h d R R θ = − θ = − 。 取d=12，R=25，h=9，計算得θ ≈ 55°，符合要 求。

5.2 鉸鏈夾角的驗證

在5.1.2 節中得鉸鏈1 的法線方向：[0.0976, -0.1880,-0.9773]。鉸鏈2、3 和鉸鏈1 關于動系的ZP 軸呈軸對稱。

確定鉸鏈的法線方向后，對其進行驗證。取 r=100mm，R=200mm，h=750mm，γP=45°，θ=54.07° 鉸鏈法線方向[0.0976,-0.1880,-0.9773]，作鉸鏈夾角 隨進動角n [0 ,360 ] ψ ∈ ° ° 的變化曲線（圖9）。

從圖9可以看出，鉸鏈轉角分布的比較均勻，在54°附近，最大夾角為54.89°<55°（設計的球鉸鏈的最大夾角）。球鉸鏈法線方向和結構參數的設計都符合要求。

5.3 運動空間的驗證 驗證當球鉸鏈實現最大轉角αmax=55°時，在各個進動角方向，章動角可以達到的最大角度，見圖10。

圖10 中橫坐標是進動角ψ，縱坐標為章動角θ。 θ = 54.07°包含在最大空間的范圍內，可以實現指定的工作空間。設計的球鉸鏈法線方向和最大轉角符合設計要求。